De vous à moi
Côté face, comme vous et moi ne pouvons échapper à la police des réalités de la vie quotidienne, je ponctuerai ces billets des parenthèses socialement utiles: bonnes adresses, livres, photos, conseils pratiques, vie associative, etc. Bref, c'est l'esprit Web 2.0.
Côté pile ou face, au gré de mes inspirations, je nous inviterai à nous regarder dans le miroir de notre époque épique.
Jeannot Pita
Exercice n°1
1° a) iy est solution de (E) lorsqu'il vérifie l' équation de (E) ; d' ou l' expression
(iy)3 +(Ö3 - i ) (iy)2 + (1 - Ö3i )(iy) - i =0
En développant et en factorisant l' expression ci-dessus on trouve
i (y - 1 ) ( 1 - y2 )+Ö3y ( 1 - y) = 0
- i (1 - y )2 ( 1 + y ) + Ö3y ( 1 - y) = 0; cette expression est réalisée lorsque y = 1.
b) z3 + (Ö3- i)z2 + (1- Ö3i)z - i = (z - i) ( z2 + az + b )
Nous allons développer le second membre;
z3 + (Ö3- i)z2 + (1- Ö3i)z - i = z3 + ( a -i )z2 - ( b - ia )z - ib
Par identification on trouve
Ö3- i = a -i (1)
1- Ö3i = b - ia (2)
i = ib (3)
D' après (3) et (2) on trouve que b = 1;
d 'après (2) et ( 1) a = Ö3.
2° a) z2 + Ö3z +1 = 0.
D = 3 - 4 = -1 = i2;
z1 = ( -Ö3 +i )/2 ; z2 = ( -Ö3 -i )/2 .
b) S = { i ; -Ö3 +i )/2 ; ( -Ö3 -i )/2 } : forme algébrique;
S = {cos ( 2kp ) + sin( 2kp ) ; cos (5p/6)+ sin (5p/6) ; cos (7p/6)+ sin (7p/6) ; }
3° b) Soient Za = - i ; Zb = /2 + Ö3/2 ; Zc = i/2 - Ö3/2
(Zc - Zb) / (Za - Zb ) = (- i ) / (i/2 + Ö3/2 )
Le module du quotient vaut 1;
L' argument vaut : ( - 90°) - ( 30°) = - 120° ;
c) L' angle formé par les vecteurs BA et BC vaut 4p/3 ; le triangle ABC est isocèle ( car BA = BC)
Exercice n°2
1°) z - i = x + iy - i = x + i( y - 1) ;
z +1 = x + iy + 1 = ( x+1 ) + iy ;
U = { x + i(y-1) }{ (x+1) - iy} / {(x +1)2 + y2}
= { (x+1/2)2 + (y-1/2)2 - 1/2 + i (y-x-1)} / { (x+1)2+y2} =X +iY;
on a :
X = { (x+1/2)2 +(y-1/2)2-1/2} / {(x+1)2 + y2};
Y = {(y- x - 1) } / { (x+1)2 + y2}.
2) a) Imaginaire pur veut dire que la partie réelle est nulle ( X =0);
on a : (x+1/2)2 +(y-1/2)2-1/2 = 0 : ceci représente l'équation d'un cercle de centre (-1/2 ;1/2 ) et de rayon Ö2/2 .
b) réel pur signifie Y = 0;
on a : y- x - 1 = 0 : l' équation d' une droite qui coupe les axes de coordonnées aux points (0,1) et ( -1, 0)
c) la demi-droite y- x - 1 = 0 se trouvant au-dessus de l'axe des abscisses
Exercice n°3
L'univers est donné par W= {(p,p) ; (f,f) ; (p,f) ; (f,p) } .
Soient P(p,p) la probabilité d'obtenir deux piles;
P(f,f) la probabilité d'obtenir deux faces;
P(f,p) probabilité d'obtenir face et pile ;
P(p,f) probabilité d'obtenir pile et face .
P(p,p)=P(f,f) = 1/4 ; P(f,p) = P(p,f)= 1/4 ;
1°) P(p,p) = 1/4 ;
P(une face) = P(f,p) + P(p,f) = 1/2.
2°) La variable X peut être égale à : (30 - x) ; (5 - x) ; ( 0 - x ) .
P( 30 - x ) = 1/4;
P( 5 - x ) = 1/2 ;
P( 0 - x ) = 1/4 .
E(X) = (30 - x ) * 1/4 + ( 5 - x ) * 1/2 + (0 - x ) * 1/4
E(X) = 10 - x .
3°) Le jeu est équitable lorsque E(X) est nulle .
E(X) = 0 Û x = 10
La mise doit être égale à 10 euros
Ce livre est une suite de chroniques que vous pouvez lire dans n'importe quel ordre. Celles-ci sont très accessibles grâce notamment à un humour qui atténue le côté arride de la philosophie. Alain y aborde quasiment tous les sujets (Gymnastique, passion du voisinage, amitié, le sourire, le couple, etc.) de la vie quotidienne avec ses mille petits rien. Bref, c'est une vraie vitamine pour les neurones !
Afin d’aider certains élèves de terminales scientifique et technique à s’entraîner régulièrement, je leur propose une série d’exercices et de problèmes de mathématiques en me basant sur le « programme officiel ». Cette rubrique s’articule autour de 3 grandes parties dans lesquelles les exercices seront présentés sans un ordre précis.
En effet, l’idée qui sous-entend ce choix étant d’obligé l’élève à faire appel à toutes ses connaissances. Dès lors qu’il se trouve « sommé » de résoudre un problème qui ne ressemble à nul autre traité en cours.
La première partie relève du tronc commun. C’est l’Analyse où seront traités des exercices relatifs aux chapitres suivants :
La deuxième partie portera sur la géométrie et s’y trouveront abordés ce qui suit :
- Nombres complexes
- Prdoduit scalaire
- Droites et plans dans l'espace
Enfin dans la dernière partie seront regroupés les problèmes axés sur les probabilités et statistiques:
- Probabilités discrètes
- Statistiques
- Probabilités continues
A toutes fins utiles, je précise que ce plan n’est donné qu’à titre indicatif, pour fixer un cadre de travail. Il peut, à tout moment, faire l’objet d’un changement, si je le juge nécessaire.
Exercice n°2
Pour tout complexe z = x + iy , avec x et y réels et (x,y) ¹(-1, 0) , on considère le nombre complexe U défini par :
U = ( z - i ) / ( z + 1 ).
1°)On note U = X + iY , avec X et Y réels . Exprimer X et Y en fonction de x et y .
2°) Déterminer les ensembles C1 , C2 , C3 des points M du plan tels que :
a)U soit imaginaire pur;
b)U soit réel ;
c)U soit réel et strictement positif .
3°) Quelle doit être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable
Exercice n°4
